Ctrl K

Inverse matrix berekenen

Typ een vierkante matrix, één rij per regel, en krijg de inverse A⁻¹ als exacte breuken of als kommagetallen, samen met de determinant.

Uitkomst als

Eén rij per regel, getallen gescheiden door spaties. Breuken zoals 1/2 mogen.

Vul de velden in; de uitkomst verschijnt hier direct.

Zo werkt het

  1. Vul de waarden in

    Typ de getallen of de formule. Kommagetallen mogen met een komma. Geen idee? Klik op Voorbeeld invullen.

  2. Direct de uitkomst

    Het antwoord verschijnt terwijl je typt, met de belangrijkste tussenwaarden erbij.

  3. Bekijk de uitleg

    Onder "Zo reken je het uit" zie je de stappen, handig om je eigen berekening te controleren.

Zo werkt het

De matrix wordt uitgebreid met de eenheidsmatrix en met rijoperaties (Gauss-Jordan) teruggebracht tot de linkerhelft de eenheidsmatrix is. De rechterhelft is dan A⁻¹. Als controle geeft A × A⁻¹ de eenheidsmatrix.

Voor een 2×2-matrix [[a, b], [c, d]] bestaat een snelle formule: A⁻¹ = 1/(ad − bc) · [[d, −b], [−c, a]].

Geen inverse?

Een matrix met determinant 0 heeft geen inverse, omdat de rijen afhankelijk zijn. Je krijgt een melding in plaats van een uitkomst. Breuken blijven standaard exact; wissel naar kommagetallen als je dat liever hebt. Alleen de determinant nodig? Gebruik determinant berekenen.

Rekenvoorbeelden

  • Het voorbeeld: [[2, 1], [5, 3]] heeft determinant 2 × 3 − 1 × 5 = 1, dus de inverse is [[3, −1], [−5, 2]].
  • Met een breuk: [[4, 7], [2, 6]] heeft determinant 24 − 14 = 10. De inverse is (1/10) × [[6, −7], [−2, 4]].
  • Geen inverse: [[1, 2], [2, 4]] heeft determinant 4 − 4 = 0, omdat de tweede rij het dubbele van de eerste is.

Ax = b oplossen

Voor 2x + y = 5 en 5x + 3y = 13 is de matrix A = [[2, 1], [5, 3]]. De inverse maal b = (5, 13) geeft x = 3 × 5 − 1 × 13 = 2 en y = −5 × 5 + 2 × 13 = 1. Voor grotere stelsels die je als vergelijkingen intypt, doet stelsel van vergelijkingen oplossen hetzelfde zonder matrix.

De determinant aan het werk

De inverse van een 2×2-matrix is 1/det maal de matrix met verwisselde diagonaal en omgekeerde tekens elders. Hoe kleiner de determinant, hoe groter de getallen in de inverse. Wat een matrix met een vector doet, zie je bij eigenwaarden berekenen.

Veelgestelde vragen

Wanneer heeft een matrix een inverse?

Als hij vierkant is en de determinant niet nul is. Een matrix met determinant 0 heet singulier, en de calculator meldt dat er geen inverse bestaat.

Waarom breuken in plaats van decimalen?

Breuken zijn exact. De inverse van [[4, 7], [2, 6]] heeft de waarden 3/5, −7/10, −1/5 en 2/5, oftewel 0,6, −0,7, −0,2 en 0,4. Boven het veld kun je naar kommagetallen wisselen.

Waarvoor gebruik je een inverse?

Om een transformatie ongedaan te maken en om stelsels op te lossen: als Ax = b, dan x = A⁻¹b. In beeldbewerking maakt hij een draaiing of schaling ongedaan.

Hoe controleer ik het resultaat?

Vermenigvuldig A met A⁻¹. Het product moet de eenheidsmatrix zijn, met enen op de diagonaal en nullen elders.