Ctrl K

Eigenwaarden en eigenvectoren berekenen

Typ een vierkante matrix, één rij per regel, en krijg de eigenwaarden en eigenvectoren. Complexe eigenwaarden worden als a + bi getoond.

Eén rij per regel, getallen gescheiden door spaties. Breuken zoals 1/2 mogen.

Vul de velden in; de uitkomst verschijnt hier direct.

Zo werkt het

  1. Vul de waarden in

    Typ de getallen of de formule. Kommagetallen mogen met een komma. Geen idee? Klik op Voorbeeld invullen.

  2. Direct de uitkomst

    Het antwoord verschijnt terwijl je typt, met de belangrijkste tussenwaarden erbij.

  3. Bekijk de uitleg

    Onder "Zo reken je het uit" zie je de stappen, handig om je eigen berekening te controleren.

Wat zijn eigenwaarden?

Een eigenvector v van een matrix A is een vector die A alleen rekt of krimpt, zonder de richting te veranderen: Av = λv. De factor λ is de eigenwaarde. De eigenwaarden zijn de oplossingen van det(A − λI) = 0.

Controles

De som van de eigenwaarden is gelijk aan het spoor (de som van de diagonaal), en hun product is gelijk aan de determinant. De eigenvectoren worden zo geschaald dat de kleinste component 1 is; elk veelvoud van een eigenvector is ook een eigenvector.

Waar worden ze gebruikt

Bij trillingen en stabiliteitsanalyse, in het oorspronkelijke PageRank van Google, bij hoofdcomponentenanalyse (PCA) en in de kwantummechanica. De berekening is numeriek, door math.js in je browser, voor matrices tot 8×8.

Rekenvoorbeelden

  • Voorbeeld: [[2, 1], [1, 2]] heeft eigenwaarden 1 en 3, met eigenvectoren (−1, 1) en (1, 1). Het spoor is 2 + 2 = 4 = 1 + 3.
  • Driehoeksmatrix: [[2, 1], [0, 3]] heeft de eigenwaarden op de diagonaal: 2 en 3.
  • Draaiing: [[0, −1], [1, 0]] heeft de complexe eigenwaarden i en −i.

Snelle controles

De eigenwaarden moeten optellen tot het spoor, dat in het resultaat staat, en vermenigvuldigen tot de determinant. Voor [[2, 1], [1, 2]]: 1 × 3 = 3 = 2 × 2 − 1 × 1. De determinant vind je met determinant berekenen, en de karakteristieke vergelijking van een 2×2-matrix is een kwadratische, op te lossen met kwadratische vergelijking oplossen.

Een markovketen

Bij de matrix [[9/10, 1/2], [1/10, 1/2]], waarvan elke kolom optelt tot 1, zijn de eigenwaarden 1 en 0,4. De eigenvector bij eigenwaarde 1 is evenredig met (5, 1), dus op de lange termijn stelt het systeem zich in op 5/6 in de eerste toestand en 1/6 in de tweede. Deze stationaire verdeling is het idee achter PageRank.

Veelgestelde vragen

Wat is een eigenvector in gewone woorden?

Een richting die de matrix alleen rekt of krimpt, zonder te draaien. De factor is de eigenwaarde. Bij [[2, 1], [1, 2]] wordt de vector (1, 1) met 3 uitgerekt en (−1, 1) met 1.

Waarom zijn sommige eigenwaarden complex?

Een matrix die elke richting draait, heeft geen reële eigenvector. [[0, −1], [1, 0]] draait alles 90° en heeft eigenwaarden i en −i, die de calculator als complexe getallen toont.

Waarom is de eigenvector zo vreemd geschaald?

Elk veelvoud van een eigenvector is ook een eigenvector, dus er is geen enkele juiste lengte. De calculator schaalt hem zo dat de kleinste component ongelijk aan nul grootte 1 heeft.

Hoe nauwkeurig zijn de resultaten?

Ze zijn numeriek, berekend door math.js in je browser, en afgerond weergegeven. Bij kleine matrices met gehele getallen komen de waarden netjes uit, zoals in de voorbeelden.