Ctrl K

Kwadratische vergelijking oplossen

Vul a, b en c van ax² + bx + c = 0 in en krijg de oplossingen met elke stap: de discriminant, de abc-formule, de top van de parabool en, waar het kan, de ontbonden vorm.

Voor ax² + bx + c = 0.

Vul de velden in; de uitkomst verschijnt hier direct.

Zo werkt het

  1. Vul de waarden in

    Typ de getallen of de formule. Kommagetallen mogen met een komma. Geen idee? Klik op Voorbeeld invullen.

  2. Direct de uitkomst

    Het antwoord verschijnt terwijl je typt, met de belangrijkste tussenwaarden erbij.

  3. Bekijk de uitleg

    Onder "Zo reken je het uit" zie je de stappen, handig om je eigen berekening te controleren.

De abc-formule

x = (−b ± √D) / 2a, waarbij de discriminant D = b² − 4ac.

  • D > 0: twee reële oplossingen (de parabool snijdt de x-as twee keer).
  • D = 0: precies één oplossing (de top raakt de x-as).
  • D < 0: geen reële oplossingen, wel twee complexe, zoals 1 ± 2i.

Voor x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, dus x = (5 ± 1) / 2, wat x = 2 of x = 3 geeft, en de ontbonden vorm is (x − 2)(x − 3).

a = 0?

Dan is het geen kwadratische maar een lineaire vergelijking, bx + c = 0, en die lost de calculator dan op. Voor meer vergelijkingen met meer onbekenden is er stelsels van vergelijkingen oplossen.

Meer uitgewerkte voorbeelden

Vergelijking D Oplossingen
x² − 5x + 6 = 0 1 x = 2 of x = 3
x² + 2x + 1 = 0 0 x = −1
2x² − 3x − 2 = 0 25 x = −0,5 of x = 2
x² + 2x + 5 = 0 −16 −1 ± 2i

Een bal in de lucht

De hoogte van een bal die met 20 m/s omhoog wordt gegooid vanaf 1,5 m is h = −4,9t² + 20t + 1,5. Wanneer landt hij? Stel h = 0 en vul a = −4,9, b = 20 en c = 1,5 in. D = 400 + 29,4 = 429,4, en de positieve oplossing is t ≈ 4,16 seconden. De andere oplossing, ongeveer −0,07 s, ligt vóór de worp en laat je weg.

Een rechthoek met een gegeven oppervlakte

Een rechthoek heeft een omtrek van 40 m en een oppervlakte van 91 m². Met breedte w is de lengte 20 − w, dus w(20 − w) = 91, oftewel w² − 20w + 91 = 0. Dan is D = 400 − 364 = 36 en w = 7 of w = 13: dezelfde rechthoek van beide kanten bekeken.

Voorbij kwadratisch

Voor de helling van de parabool in een punt gebruik je afgeleiden berekenen.

Veelgestelde vragen

Wat zegt de discriminant me?

Het teken zegt hoeveel reële oplossingen er zijn: positief betekent twee, nul betekent één, negatief betekent geen. 25 − 24 = 1 bij x² − 5x + 6 = 0, dus er zijn er twee.

Wat zijn complexe oplossingen?

Is D negatief, dan heeft de vergelijking twee oplossingen van de vorm p ± qi, met i = √−1. Bij x² + 2x + 5 = 0 zijn dat −1 ± 2i. De parabool raakt de x-as niet.

Mogen a, b en c breuken of kommagetallen zijn?

Ja. Vul ze in als 1/2 of 0,5, met een komma of een punt. Negatieve getallen en korte sommen werken ook.

Hoe vind ik de top?

Die ligt bij x = −b ÷ 2a, en de hoogte is c − b² ÷ 4a. Voor x² − 5x + 6 is dat (2,5; −0,25), het laagste punt van de parabool.