Ctrl K

Determinant berekenen

Typ een vierkante matrix, één rij per regel met de getallen gescheiden door spaties, en krijg de determinant. Breuken als 1/2 mogen en het antwoord is exact.

Eén rij per regel, getallen gescheiden door spaties. Breuken zoals 1/2 mogen.

Vul de velden in; de uitkomst verschijnt hier direct.

Zo werkt het

  1. Vul de waarden in

    Typ de getallen of de formule. Kommagetallen mogen met een komma. Geen idee? Klik op Voorbeeld invullen.

  2. Direct de uitkomst

    Het antwoord verschijnt terwijl je typt, met de belangrijkste tussenwaarden erbij.

  3. Bekijk de uitleg

    Onder "Zo reken je het uit" zie je de stappen, handig om je eigen berekening te controleren.

Zo wordt het berekend

Voor een 2×2-matrix is de determinant ad − bc. Grotere matrices worden met rijoperaties teruggebracht tot een driehoeksvorm (eliminatie van Gauss); de determinant is dan het product van de pivots, met een minteken voor elke rijwisseling. Dat is veel sneller dan ontwikkelen naar cofactoren en werkt tot 10×10.

Wat de determinant zegt

  • det = 0: de rijen zijn afhankelijk, de matrix heeft geen inverse en een stelsel vergelijkingen met deze matrix heeft geen unieke oplossing.
  • det ≠ 0: de matrix is omkeerbaar. De absolute waarde is de factor waarmee de matrix oppervlakten (2×2) of inhouden (3×3) schaalt.

De inverse zelf vind je met inverse matrix berekenen.

Rekenvoorbeelden

  • 2×2: voor [[3, 8], [4, 6]] is de determinant 3 × 6 − 8 × 4 = −14.
  • 3×3: voor het voorbeeld [[2, −1, 0], [1, 3, 2], [0, 1, 4]] ontwikkel je naar de eerste rij: 2 × (3 × 4 − 2 × 1) − (−1) × (1 × 4 − 2 × 0) + 0 = 20 + 4 = 24.
  • Driehoeksmatrix: [[2, 7, 1], [0, 3, 5], [0, 0, 4]] heeft determinant 2 × 3 × 4 = 24.

Oppervlakte en inhoud

De vectoren (3, 1) en (1, 2) spannen een parallellogram op met oppervlakte |3 × 2 − 1 × 1| = 5. Dezelfde determinant schaalt oppervlakten in het vlak bij een transformatie, en een 3×3-determinant geeft de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door drie vectoren.

Handige regels

Twee rijen omwisselen draait het teken om. Een rij met k vermenigvuldigen vermenigvuldigt de determinant met k. Een veelvoud van een rij bij een andere optellen verandert niets. En det(A · B) = det(A) · det(B). Bij een stelsel zegt een determinant ongelijk aan nul dat er precies één oplossing is; die vind je met stelsel van vergelijkingen oplossen.

Veelgestelde vragen

Wat betekent een determinant van 0?

De rijen zijn lineair afhankelijk: één is een combinatie van de andere. De matrix heeft geen inverse, en een stelsel met deze matrix heeft geen unieke oplossing.

Kan een determinant negatief zijn?

Ja. Een negatieve determinant betekent dat de transformatie de oriëntatie omklapt, als een spiegelbeeld. De absolute waarde blijft de schaalfactor van oppervlakten of inhouden.

Hoe groot mag de matrix zijn?

Vierkante matrices tot 10×10. Niet-vierkante matrices hebben geen determinant, en de calculator meldt dat.

Wat is de determinant van een driehoeksmatrix?

Het product van de getallen op de diagonaal. Daar eindigt ook de eliminatiemethode, na aanpassing van het teken voor elke rijwisseling.