Ctrl K

Inverse Laplacetransformatie berekenen

Typ een breuk van twee polynomen in s, zoals (s + 3) / ((s + 1)(s + 2)), en krijg f(t), met de polen en de stappen van de partiële breuksplitsing.

Een breuk van twee polynomen in s, zoals 1/(s^2 + 4) of 5/(s − 2)^2.

Vul de velden in; de uitkomst verschijnt hier direct.

Zo werkt het

  1. Vul de waarden in

    Typ de getallen of de formule. Kommagetallen mogen met een komma. Geen idee? Klik op Voorbeeld invullen.

  2. Direct de uitkomst

    Het antwoord verschijnt terwijl je typt, met de belangrijkste tussenwaarden erbij.

  3. Bekijk de uitleg

    Onder "Zo reken je het uit" zie je de stappen, handig om je eigen berekening te controleren.

Zo werkt het

  1. Zoek de polen: de nulpunten van de noemer.
  2. Splits F(s) in partiële breuken, één term per pool p, met (s − p)ᵏ in de noemer bij meervoudige polen.
  3. Transformeer elke term terug met de tabel: L⁻¹{1 / (s − p)ᵏ} = tᵏ⁻¹ / (k − 1)! · e^(pt).

Twee complexe polen a ± bi geven samen een term e^(at)·(… cos(bt) + … sin(bt)). In het voorbeeld is f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).

Grenzen

De graad van de teller moet lager zijn dan die van de noemer (een echte breuk); anders zou f(t) een deltafunctie bevatten. De heenweg is Laplacetransformatie berekenen.

Rekenvoorbeelden

F(s) f(t)
1 / (s + 1) e^(−t)
1 / (s² + 4) ½ · sin(2t)
5 / (s − 2)² 5t · e^(2t)
1 / (s² + 2s + 5) ½ · e^(−t) · sin(2t)
(s + 3) / ((s + 1)(s + 2)) 2e^(−t) − e^(−2t)

De partiële breuken van het voorbeeld

Voor (s + 3) / ((s + 1)(s + 2)) schrijf je A/(s + 1) + B/(s + 2). De coëfficiënt A is de teller bij s = −1, gedeeld door de andere factor bij −1: A = (−1 + 3) / (−1 + 2) = 2. Zo ook B = (−2 + 3) / (−2 + 1) = −1. Dus F(s) = 2/(s + 1) − 1/(s + 2), en f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).

Complexe polen

s² + 2s + 5 is gelijk aan (s + 1)² + 4, met polen −1 ± 2i. Dat geeft de gedempte trilling e^(−t) · sin(2t) gedeeld door 2. Waar een kwadratische noemer nul wordt, vind je met kwadratische vergelijking oplossen.

Veelgestelde vragen

Wat zijn polen?

De nulpunten van de noemer van F(s). Elke pool p geeft een term e^(pt) in f(t): reële polen geven exponentiële functies, en complexe polen a ± bi geven trillingen e^(at)·sin(bt) of cos(bt).

Wat gebeurt er bij een meervoudige pool?

Een pool p die k keer voorkomt, geeft termen met 1/(s − p)ᵏ, en elk daarvan gaat terug naar tᵏ⁻¹/(k − 1)! · e^(pt). Dus 1/(s − 2)² wordt t · e^(2t).

Waarom krijg ik bij sommige breuken een foutmelding?

De teller moet een lagere graad hebben dan de noemer. Een onechte breuk als s² / (s + 1) zou een deltafunctie in f(t) geven, wat deze tabel niet dekt.

Geldt f(t) ook voor negatieve t?

Nee. De eenzijdige Laplacetransformatie beschrijft alleen t ≥ 0, dus het resultaat is de functie voor t ≥ 0.