Ctrl K

Laplacetransformatie berekenen

Typ een functie van t, zoals 3 + 2t^2 − 4exp(−2t) + 5sin(3t), en krijg de Laplacetransformatie F(s), term voor term uit de standaardtabel.

Sommen van constanten, tⁿ, exp(at), sin(bt), cos(bt), sinh(bt) en cosh(bt), ook vermenigvuldigd met exp(at).

Vul de velden in; de uitkomst verschijnt hier direct.

Zo werkt het

  1. Vul de waarden in

    Typ de getallen of de formule. Kommagetallen mogen met een komma. Geen idee? Klik op Voorbeeld invullen.

  2. Direct de uitkomst

    Het antwoord verschijnt terwijl je typt, met de belangrijkste tussenwaarden erbij.

  3. Bekijk de uitleg

    Onder "Zo reken je het uit" zie je de stappen, handig om je eigen berekening te controleren.

Ondersteunde termen

Constanten, tⁿ, e^(at), sin(bt), cos(bt), sinh(bt) en cosh(bt), en die termen vermenigvuldigd met e^(at) (de verschuivingsregel). Omdat de Laplacetransformatie lineair is, werken sommen en constante veelvouden ook.

Voorbeelden uit de tabel

  • L{1} = 1/s
  • L{tⁿ} = n! / sⁿ⁺¹
  • L{e^(at)} = 1 / (s − a)
  • L{sin(bt)} = b / (s² + b²)
  • L{e^(at)·cos(bt)} = (s − a) / ((s − a)² + b²)

Het resultaat geldt voor s groter dan het reële deel van elke a. Om van F(s) terug te gaan naar f(t) gebruik je inverse Laplacetransformatie.

Het voorbeeld term voor term

3 + 2t² − 4e^(−2t) + 5 sin(3t) wordt 3/s + 4/s³ − 4/(s + 2) + 15/(s² + 9). Elke term gebruikt een regel uit de tabel: L{1} = 1/s, L{t²} = 2/s³, L{e^(−2t)} = 1/(s + 2) en L{sin 3t} = 3/(s² + 9). De constante factoren 3, 2, −4 en 5 gaan gewoon mee.

Een differentiaalvergelijking oplossen

Voor y′ + 2y = 0 met y(0) = 1 transformeer je beide kanten met L{y′} = sY − y(0): sY − 1 + 2Y = 0, dus Y = 1/(s + 2). De inverse transformatie geeft y = e^(−2t), een afname die je ook kunt bekijken met exponentieel verval berekenen. Gebruik de inverse calculator voor de laatste stap bij lastiger gevallen.

Waarom ingenieurs het gebruiken

In elektronica en regeltechniek wordt een schakeling of systeem een breuk in s, en twee systemen achter elkaar zetten is breuken vermenigvuldigen. De polen van die breuk, de nulpunten van de noemer, zeggen of het systeem stabiel is: polen met een negatief reëel deel geven responsen die uitdoven.

Veelgestelde vragen

Wat betekent de variabele s?

Het is een complexe frequentie. De Laplacetransformatie maakt van een functie van de tijd f(t) een functie van s, waarin differentiëren vermenigvuldigen met s wordt en veel differentiaalvergelijkingen algebra.

Welke functies worden ondersteund?

Constanten, tⁿ, e^(at), sin(bt), cos(bt), sinh(bt) en cosh(bt), ook vermenigvuldigd met e^(at), en sommen en veelvouden daarvan. Producten als t · sin(t) en functies als 1/t staan niet in de tabel.

Wat betekent "geldig voor s groter dan …"?

De integraal die de transformatie definieert, convergeert alleen voor voldoende grote s. Bij e^(at) heb je s > a nodig, bijvoorbeeld s > −2 bij e^(−2t).

Hoe kom ik terug bij f(t)?

Met [inverse Laplacetransformatie](/nl/wiskunde/inverse-laplace-transformatie-berekenen-online-tool), die f(t) vindt uit een breuk in s.