Ctrl K

Complexe getallen vermenigvuldigen

Typ twee complexe getallen en krijg het product, met het reële en imaginaire deel, de modulus en het argument.

Schrijf als a + bi, bijvoorbeeld 3 − 2i, −i of 4i.

Vul de velden in; de uitkomst verschijnt hier direct.

Zo werkt het

  1. Vul de waarden in

    Typ de getallen of de formule. Kommagetallen mogen met een komma. Geen idee? Klik op Voorbeeld invullen.

  2. Direct de uitkomst

    Het antwoord verschijnt terwijl je typt, met de belangrijkste tussenwaarden erbij.

  3. Bekijk de uitleg

    Onder "Zo reken je het uit" zie je de stappen, handig om je eigen berekening te controleren.

Zo werkt het

Werk de haakjes uit en gebruik i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Voor (3 + 2i)(1 − 4i) = 3 − 12i + 2i − 8i² = 3 − 10i + 8 = 11 − 10i.

Meetkundige betekenis

Bij vermenigvuldigen worden de moduli vermenigvuldigd en de argumenten opgeteld. Vermenigvuldigen met i draait een getal een kwartslag (90°) om de oorsprong.

Zie ook complexe getallen delen.

Rekenvoorbeelden

  • (1 + i)(1 − i) = 1 − i² = 2
  • i · i = −1
  • (2 + 3i)² = −5 + 12i

Draaien en schalen

Vermenigvuldigen met een complex getal draait en schaalt. Vermenigvuldigen met i is een kwartslag (90°) tegen de klok in, want i · (a + bi) = −b + ai. Vermenigvuldigen met 1 + i draait 45° en rekt een factor √2 uit. Omdat moduli vermenigvuldigen en argumenten optellen, maakt de poolvorm producten makkelijk: een getal met modulus 2 en hoek 30° maal een getal met modulus 3 en hoek 60° heeft modulus 6 en hoek 90°.

Waar wordt het gebruikt

Vermenigvuldigen van complexe getallen ligt onder wisselstroomanalyse, signaalverwerking (de Fouriertransformatie) en fractals als de Mandelbrotverzameling, die z² + c herhaalt. Van pool- naar cartesische vorm ga je met polar naar cartesian.

Veelgestelde vragen

Waarom is i² = −1?

Dat is de definitie van i, het getal waarvan het kwadraat −1 is. Daardoor werkt de formule (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Hoe kwadrateer ik een complex getal?

Vul het in als beide getallen. (2 + 3i)² = 4 + 12i + 9i² = −5 + 12i.

Wat gebeurt er als ik met de geconjugeerde vermenigvuldig?

Je krijgt altijd een reëel, niet-negatief getal: |z|². Bij 3 + 4i is (3 + 4i)(3 − 4i) = 9 + 16 = 25, dat is 5 in het kwadraat. Dat is de truc bij delen.

Hoe controleer ik de uitkomst?

De modulus van het product is het product van de moduli. Bij (3 + 2i)(1 − 4i) is √13 × √17 = √221 ≈ 14,866, de modulus die de calculator toont bij 11 − 10i.